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第111章射程之内
「我也记得你。」
拉斯洛说，「你的预条件子证明我后来研究了，里面那个谱界推导，我顺着你的思路往下走了一段，发现可以推广到非对称矩阵。」
他从口袋里掏出一张叠得方方正正的纸，展开。
上面是密密麻麻的推导，字迹清瘦而有力。
陆沉接过来看。
拉斯洛的推广是对的—把不完整Cholesky分解的谱界理论从对称正定矩阵推广到了一般矩阵的不完全LU分解。
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这个工作前世的文献里要等到1990年代中期才有人完成。
而拉斯洛·科瓦奇，在莫斯科的赛场上看完陆沉的证明之后，自己把它往前推了关键的一步。
「你投了吗？」陆沉问。
「投了，匈牙利科学院的期刊，正在审。」拉斯洛把纸收回去折好，「审稿意见回来以后，我会在致谢里写你的名字。」
陆沉想说不用，但拉斯洛已经继续往下说了。
「我明年要去普林斯顿读本科。那边有一个教授做计算数学的，研究方向跟这个很接近。」
他把纸放回口袋，「陆沉，你有没有想过以后去哪里读书？」
普林斯顿。
前世拉斯洛·科瓦奇最终就是去了普林斯顿，在那里成为计算复杂性理论的重要推动者。
这条时间线上，他比前世更早地拿到了入场券。
「还没想好。」陆沉说。
拉斯洛点了点头，没有追问。
他拍了拍陆沉的肩膀。
「比赛结束以后，我把那篇论文的预印本给你一份。你帮我看一下第三章的误差估计，我觉得那里可能还有收紧的空间。」
说完他就走了，穿过走廊融入了匈牙利队的人群里。
陆沉看着他的背影，想起莫斯科食堂里拉斯洛说的那句话—「数学不是被发明的，是被发现的。好的数学一直都在那里，等着有人把它找出来。」
这个人，无论在莫斯科还是海德堡，无论在匈牙利科学院还是普林斯顿，他找数学的方式都是一样的一找到一条路，往前推一步，然后回头告诉同行的人：这里可以走，你也来。
那天下午，各队在驻地自由活动。
顾小北拉着宋知行去内卡河边寄明信片，方磊和王雪松在宿舍里研究赛程安排，何巍不知去向。
陆沉一个人走到海德堡大学数学系大楼门口。
那块1546年的铜牌还在，下午的阳光从侧面照过来，把铜牌上的字迹照得明暗分明。
他站在铜牌前面，忽然想起一件事。
索科洛夫1979年到1980年的两篇综述里，引用了海德堡大学一位数学家在1960年代做的工作。
关于预条件叠代法的早期探索。
那个德国数学家的名字，索科洛夫在论文里提过，陆沉当时记在了便签本上，但没有深究。
现在他站在这栋大楼门口。
那个德国数学家，当年就是从这扇门里进进出出的。
他推开门走进去。
走廊很安静，大理石地面被无数双脚磨得光滑如镜，墙壁上挂着数学系历史上着名教授的油画肖像，每一幅下面都有一块小铜牌，刻着名字和生卒年份。
他沿着走廊往里走，油画肖像从十八世纪的戴假发绅士慢慢变成十九世纪的络腮胡学者，再变成二十世纪的黑白照片。
走到走廊尽头的时候他停下来——最后一张照片上是一个头发蓬乱的中年人，戴着厚厚的黑框眼镜，嘴角微微上扬。
照片下面的铜牌刻着：HelmutSchmidt，1925—1978，数值分析。
索科洛夫引用的就是他。
陆沉站在那张照片前面。
1978年，这个德国数学家去世。
同一年，他出生。
一条时间线收束，另一条时间线开启。
他在那个开启的节点上站了很久。
从数学系大楼出来的时候，他在门口遇见了何巍。
何巍坐在门口的台阶上，面前摊着一叠草稿纸，膝盖上放着一本从国内带来的《代数学引论》。
他看到陆沉，把草稿纸往旁边挪了挪，让出一个位置。
「里面有什么？」何巍问。
「一条走廊，很多照片。」陆沉在他旁边坐下来，「走廊尽头有一个德国数学家的照片，1978年去世的。
何巍沉默了一会儿。
「1978年，你出生那年。」
「嗯。」
何巍把草稿纸翻到新的一页。
「那你这回来德国，算是跟他打了个招呼。」
陆沉看着台阶下面内卡河缓缓流动的水。
河面上天鹅还在，白得像云朵。
对岸山坡上的城堡废墟被下午的太阳照成暗红色。
「算是。」他说。
七月六号，比赛日。
早上七点，海德堡大学的主教学楼前已经站满了各代表队的队员。
三十多个国家和地区的年轻人穿着各自队服，在教学楼前的广场上分成一堆一堆的。
有人在最后翻笔记，有人靠着墙闭着眼睛，有人在小声跟队友讨论最后一种可能考的题型。
六月底的德国清晨还有凉意，说话时呼出的白气一团一团地散开。
中国队在教学楼东侧集合。
刘领队把六个人叫到一起，没有战术布置，没有押题，只说了一句话。
「这半年你们做的每一道题，写的每一页草稿纸，都是准备。现在已经没有需要准备的东西了。进去，坐下，拿起笔，像你们在BJ阅览室里那样。」
七点四十五分，入场。
陆沉找到自己的座位—靠窗第二排，桌面上贴着他的参赛号码和姓名拼音：LU
CHEN，CHINA。
阳光从窗户照进来，落在桌面上，把那张小小的号码牌照得发亮。
他把笔袋放在桌上—一支钢笔，一支原子笔，一支铅笔，一块橡皮，一把圆规，一把直尺。
还有赵大江那本便签本，翻到空白页。
八点整。
铃声响起。
监考老师拆开密封的白色赛题册，试卷沿着每一排往后传。
纸张传递时发出的哗哗声，和在莫斯科丶在BJ集训队的无数次考试一模一样。
陆沉接过试卷，平铺在桌面上，把四个角抚平。
三道题。
四个半小时。
他低下头，开始读第一题。
窗外的内卡河在七月的阳光里缓缓流淌。
河面上的天鹅把头埋进翅膀里，在水面上静静地漂着。
海德堡城堡的红色废墟在对岸的山坡上沉默地站立，像它已经站立了四百年那样。
更远处，欧洲大陆在清晨的光线里向着四面八方伸展往东是莫斯科，索科洛夫此刻大概正坐在西伯利亚分院那间堆满资料的办公室里，面前摊着EIbrus计算机的架构图。
往东南是布达佩斯，拉斯洛那篇关于非对称谱界的论文正在匈牙利科学院期刊的编辑桌上等待终审。
往西南是四川那个小县城，周尧大概正坐在县中的教室里，面前摊着从BJ寄回来的那份二次域证明。
往东北是长春，林枫大概正在机房那台长城0520前面，他写的排序演示程序正在屏幕上用十六种颜色跑着，机房老师站在后面看。
往更东边，BJ，中关村，邹工和赵援朝他们正在把那台银灰色文字处理机的词组输入法从原理变成产品。
再往东，集训队驻地，陈志远今天早上应该又去阅览室占了靠窗的那个位置，面前摊着那本封面只剩吉米两个字的习题集。
所有的线都在这一刻汇聚到这张桌面上。
陆沉握住笔。
笔尖落在纸上。
那一刻，整个考场消失了。
陆沉后来试图回忆那四个半小时里考场发生了什么。
旁边的苏联选手翻了几次试卷，身后的美国队女生咳嗽了两声，窗外的内卡河上有一艘白色的游船缓缓驶过，船上的游客朝城堡挥手。
但这些记忆都是后来拼凑的。
在四个半小时里面，他的世界里只有三张纸和一支笔。
第一题，代数。
题干很短，短到让人不安。
求证一个关于有限域上多项式不可约性的命题，条件给得极其吝啬一只有多项式的次数丶系数所在的域丶以及一个看起来和不可约性毫无关系的求和条件。
陆沉把题干读了三遍。
不是读不懂，是在找出题人藏起来的梯子。
彭老师在集训队说过，1M0的代数题从来不会给多余条件，每一个条件都是一级台阶，少踩一级就上不去。
他把三个条件列在草稿纸上：次数n，有限域Fq，求和条件。
然后在这三个条件之间画箭头。
从次数到有限域，箭头上面写着弗罗贝尼乌斯自同构。
从有限域到求和条件，箭头上面写着特徵的正指数和。
从求和条件回到次数，箭头上面写着他停住了。
箭头画不回去。
求和条件里藏着一个关于n的隐含同余关系，这个关系如果不被激活，整个证明就会在第三步卡住。
他在草稿纸上把求和式展开，项一项地写出来，写满了大半页纸。
写到第十七项的时候，规律浮出来了。
求和式的值在模p意义下与n的某个函数同余。
这就是出题人藏起来的第三级台阶。
他找到了。
证明的主体用了不到四十分钟。
从弗罗贝尼乌斯自同构出发，把多项式的根在扩域中展开，用求和的同余关系反推不可约因子的次数，最后用反证法收口。
写完之后他检查了一遍，确认每一步的条件都用上了彭老师说过，IMO的代数题，如果你有一个条件没用上，那你一定做错了。
三个条件全部用上了。
他翻到第二题。
第二题，组合几何。
题干只有五行，配了一张图——平面上一个由若干单位正方形拼成的区域，边界是一条闭合的折线，要求在区域内部放置若干个点，满足某种距离约束，并证明放置数量的最大值。
读完题的时候陆沉的嘴角微微动了一下。
不是笑，是一种确认。
这道题的内核和他在BJ集训队黑板上现场构造的那个复合图问题是同一类—表面上是几何距离约束，实质上是一个图的独立数问题。
把几何转化为图，把距离约束转化为边，把放置点的最大值转化为图的独立集大小的下界。
他在莫斯科做过一次，在BJ又做了一次。
现在是第三次。
他在草稿纸上画了一个示意图。
把区域内的所有可能放置点按照网格离散化—这一步出题人已经帮他们做好了，正方形的单位本来就是天然的网格。
然后定义图：顶点是网格点，如果两个点之间的距离违反了题目给定的约束，就在它们之间连一条边。
问题转化为：求这个图的最大独立集。
图的独立数没有通用的精确公式，但可以估计下界。
他用了图兰定理的一个变体——不是经典的禁止完全子图，而是禁止某种特定子图结构的极值问题。
这个变体是他之前在做图兰定理构造性算法时顺手推出来的，没有发表，只是记在了便签本里。
没想到在海德堡用上了。
估计出来的下界恰好等于题目要证的数值。
不是巧合，是出题人按照这个下界反推的题目。
他写完了第二题的证明。
图论转化花了三页纸，图兰变体的引理证明又花了将近两页。
整道题写下来，草稿纸用了五页，答卷纸用了三页。
写完之后他的手指微微发酸。
他把笔放下甩了甩手腕，然后拿起笔继续。
第三题。
数论。
题干是整张试卷里最长的，占据了半页纸。
定义一个关于素数分布的计数函数，给出一组复杂的参数条件，要求证明函数在参数趋于无穷时的渐近行为。
函数定义里嵌套了两个求和号，一个连乘积，还有一个分段函数一分段的条件写得极其隐蔽，藏在求和指标的取值范围里。
陆沉读完第一遍，没有找到那个隐藏的分段条件。
他读第二遍，把求和指标的每一个取值边界都在草稿纸上写出来，一个一个核对。
核对到第三个边界时他发现了一当求和指标取某些特殊值时，连乘积的项数会退化为零，而这一点在题干里完全没有明说，只用了一个「对任意m≥1」的表述轻轻带过。
如果没注意到这个退化，后面的渐近估计会把退化情形当成正常情形处理，主项系数就会多出一个因子，整个证明方向都会偏掉。
他把那个隐藏的分段条件用红笔圈出来，在旁边画了一个大大的感叹号。
彭老师说过，出题人埋陷阱的地方，就是你证明里必须单独处理的分支。
然后他开始搭渐近估计的框架。
计数函数的变量替换，求和次序的交换，主项分离，余项估计。
每一步都不难，但每一步都必须精确。
数论的渐近估计就像搭积木，中间有一块歪了，最后搭出来的房子就一定会塌。
他搭得很慢，每一块都反覆确认。
写到余项估计的时候他遇到了一个选择。
余项里有一个和式，可以用两种方式处理：一种是传统的阿贝尔求和，步骤标准但余项边界会松一点；另一种是把和式拆成算术函数的狄利克雷卷积，然后用佩龙公式反演。
第二种方法的余项边界更紧，但推导复杂度高出一大截，而且需要用到复变函数里的围道积分超出了IMO考纲，但IMO从来不禁止使用高等工具，只要你用得对。
他犹豫了大约五秒钟。
然后选了第二种。
不是因为他想炫技。
是因为第一种方法估计出来的余项边界，在参数趋于无穷时有一个边界情况会溢出，虽然溢出量很小，在大部分评分标准下不会扣分。
但他知道那个溢出在那里。
既然知道，就不能装作不知道。
他开始写佩龙公式的围道积分。
积分路径的选择，极点留数的计算，余项的分段估计。
这部分写了将近四页答卷纸，每一步的合法性都做了说明。
写完之后他把主项和余项合并，得到题目要求的渐近公式，分毫不差。
他放下笔。
四个半小时还剩下十二分钟。
他把三道题的答卷从头到尾检查了一遍。
不是查错，是查每一个可能被扣分的细节—一第一题的隐含条件是否在证明里明确激活了，第二题的图转化是否说明了网格离散化不会影响距离约束的严格性，第三题的退化分段是否作为单独的分支处理了。
查完一遍，他又查了第二遍。
第二遍查到一半的时候铃声响了。
考试结束。
陆沉把试卷合上，放在桌角。
监考老师沿着每一排收卷，收到他这里时是一个头发花白的德国老教授，白胡子修剪得很整齐，和开幕式上致辞的主席有几分神似。
老教授拿起陆沉的试卷时扫了一眼答卷纸的厚度一第三题的围道积分写了四页，比其他选手厚出一截。
他的眉毛微微抬了一下，但没有说话，把试卷放进档案袋里，继续往下收。
走出考场的时候，海德堡的太阳已经升到头顶了。
七月的德国中午不算太热，阳光是一种淡淡的金色，落在教学楼的米黄色外墙上，把整栋楼照得像一块巨大的蜂蜜蛋糕。
何巍在教学楼门口的台阶上等他。
他手里拿着草稿纸，眉头皱着，看到陆沉出来，第一句话不是「你考得怎么样」，是」第三题那个退化分段，你处理了吗？」
「处理了。」
何巍的眉头松开了一瞬，然后又皱起来。
「我处理了，但我的余项估计用的是阿贝尔求和，写到一半发现边界情况会溢出，来不及改了，只能在旁边加了一段文字说明。」
「文字说明也算分。」
「算，但肯定没有直接证出来高，」何巍把草稿纸折起来插进裤兜里，「不过那道题，就算扣我几分我也认了，出得好，一个退化分段藏得那么深，出题人是懂数论的。」
顾小北从考场里走出来，脸色有点白。
她走到台阶上坐下来，两只手撑在膝盖上，深呼吸了三次。
「第二题，图论转化我走了一半，网格离散化之后建图，但图的独立数下界估计我用的是常规的图兰定理，估计出来的界比题目要求的多了一项低阶项，我为了消掉那一项多花了将近一个小时。」
「消掉了吗？」陆沉问。
「消掉了，但第三题的时间不够了，余项估计只写了一半，」她把脸埋进胳膊里，声音闷闷的，「我第三题会做的，那道题我会做的。」
没有人说话。
台阶上安静了一会儿，然后王雪松从考场里走出来了。
他脸上没什么表情，走到台阶旁边站定，从口袋里掏出一颗大白兔奶糖，剥开糖纸塞进嘴里。
嚼了几下之后他说：「第一题，弗罗贝尼乌斯自同构，第二题，图兰变体，第三题，佩龙公式，三道题，三种工具，全在彭老师押的范围内。